0 引言

    在MIMO網絡中，隨著發射機與接收機數量的增加，信道中接收機所受到的干擾也會隨之增大。如何減少信道中各個用戶所受到的干擾是一個重要研究課題。之前的學者已經提出了許多處理信道中干擾的方法，譬如，多天線下的波束成形法^[1]，其中在大多數干擾處理方法中，接收機所受到的干擾都會隨著收發對數量的增長急劇增加，而干擾對齊(Interference Alignment，IA)方案的提出可以有效減少信道間干擾，并且越來越被人們所關注。

    當沒有足夠的信道資源用于消除干擾時，IA方法嘗試將每個接收機的所有干擾對齊到小部分資源維度中去，而剩余的資源維度可以用來存放每個接收機的期望消息。IA方法被提出后，就相繼被運用到干擾信道^[2](Interference Channel，IC)、X信道^[3](X Channel，XC)等基本網絡信道模型中。其中X信道可以看作是干擾信道、廣播信道(Broadcast Channel，BC)以及多輸入信道(Multiple Access Channel，MAC)的復合信道，因此，研究干擾對齊在MIMO X信道中的可行性意義重大。干擾對齊在M×N X信道中完美實現時^[4]，信道中的自由度(Degree of Freedom，DoF)可以達到上界(MN)/(M+N-1)。

    在傳播延遲較大的信道中時，譬如水聲信道以及深空信道，干擾對齊方法可以發揮巨大作用，但是對于具有較大傳播時延的M×N X信道的具體干擾對齊方案還在繼續探索中。其中，2×2 X 信道^[5-6]、K×2 X信道^[7]基于傳播延遲的干擾對齊方案已經被證實可以完美實現，且已經得到具體的干擾對齊信道設計方案。但是，當發送端數目K≥3時，還沒有文獻給出能實現完美干擾對齊的具體信道設計方案，并且K×3 X信道已經被證明，其不存在完美的干擾對齊方案^[8]。 

    為了盡可能達到3×3 X信道的自由度上界9/5，本文在完美干擾對齊自由度中5個時隙的基礎上增加一個額外時隙。在多天線信道中，可以使用空間干擾對齊的預編碼方案^[9]，在單天線情況下，信道中消息的編解碼使用循環多項式的表示方法，首先對發送端發送的每個消息設計合理的編碼方案，其次為每對發射機和接收機之間設置合理的傳播時延，最終在接收端進行解碼后，該3×3 X信道可以達到3/2自由度，比傳統的時分多址的方案在時間上可以節省33.3%。進而，分析了本方案中各個發射機以及接收機在歐幾里得二維以及三維空間中的可行性范圍，并給出了具體示例。

1 系統模型

1.1 3×3 X信道系統模型

    3×3 X信道模型如圖1所示，信道中有3個發射機和3個接收機，分別用S_j和D_i表示，i，j∈{1，2，3}，且假設信道中每個節點只有一根天線。使用W_ij表示發送機Sj發送到接收機D_i的唯一期望消息，τ_ij表示發射機S_j到接收機D_i之間的傳播延遲，v_j和r_i分別表示發射機Sj發送的和接收機D_i所接收到的消息多項式。

1.2 算法說明

    每個發射機S_j和接收機D_i之間的信道被等分為n個時隙，每個時隙中只能發送一個消息。假設傳播延遲是一個時隙的靜態和非負整數倍。與傳統的正交多址方案類似，消息在n個時隙之后，根據傳播延遲的信道特性循環右移。該過程可以通過循環右移多項式建立模型，且周期為n。

    要發送的消息在發射機處設置偏移量為x^s發送，且信道延遲矩陣延遲t個時隙。在一個周期(n個時隙)后，得到的延遲消息由x^s+tW_ijmod(xⁿ-1)表示，此處的s和t即為式(2)和式(3)中的p_ij和τ_ij。

    編碼方案：從S_j發送的3個消息W_1j、W_2j、W_3j，通過編碼函數的編碼函數e_j轉換為多項式v_j(x)中，如式(1)所示：

2 添加額外時隙的干擾對齊方案

    已知，3×3 X信道自由度上界為9/5^[2]，理論上可以通過基于無限符號擴展的漸近干擾對齊（IA）來實現，這需要無窮資源來逼近，實際中不可能實現。此外，已經證明，對于K×3 X信道，不能通過傳播時延來達到DoF上限^[8]。因此，無法在5個時隙(對于3×3 X信道，n的最小值為5)內正確發送信道中所有9個消息。 

    一方面，本文需要通過3×3 X信道發送所有9個獨立消息；另一方面，期望最小的額外延遲成本以獲得盡可能大的DoF。因此，除了最小的5個時隙之外，僅添加一個額外的時隙以減少最多的延遲是合理的，即n=6。

    接下來本文提出一種方案來完成在n=6個時隙上發送M=9個消息的基本任務，即自由度為3/2。

    首先，考慮各個消息在發射機處設置的偏移量（偏移量有多種設置方案，此時僅以如下偏移量為例說明），假設各個消息在各個發射機的偏移量后代入式(2)后可得式(8)：

    通過設置每個待發送消息的偏移量，可以得到發送端的消息發送順序，如圖2所示。

    其中，信道中的傳輸延時矩陣D如式(9)所示：

    已知傳播周期(即一個周期所包含的總時隙數)n=6，接收機所接收到的消息多項式如下。

    在接收機D₁處，r₁(x)如式(10)所示：

    由式(10)可以看出，在接收機D₁處，期望消息W₁₁、W₁₂和W₁₃分別在每個循環中的第1、第2以及第6個時隙中被無干擾地接收到。同理，在接收機D₂處，所接收到的多項式如式(11)所示：

    很明顯，在接收機D₂處，D₂的期望消息W₂₂、W₂₁和W₂₃分別在每個循環周期的第2、第3和第5個時隙上被無干擾地接收。最后，接收機D₂處所接收到的多項式如式(12)所示：

    由式(12)可以看出，D₃的期望消息W₃₃、W₃₁和W₃₂分別在每個循環周期的第1、第5和第6個時隙里被無干擾地接收到。

    通過本方案，3個接收機均可以在一個周期內(即6個時隙內)接收到各自的期望消息，并對齊絕大多數干擾。每個接收端的消息接收情況如圖3所示。

    總的來說，對于3×3 X信道中的9個消息，通過對發送端的消息進行合理的編碼設計，以及信道中的傳播延遲矩陣的設計，可以在n=6個時隙中實現干擾對齊方案，并且能達到DoF=9/6=3/2。

3 對比分析

    本文運用MATLAB軟件對3×3 X信道添加額外時隙的干擾對齊方案下，每個時隙內成功接收的總有效消息數進行分析，并與3×3 X信道在時分多址方案下的每個時隙成功接收的總有效消息數進行對比。

    本文提出的外加額外時隙的干擾對齊方案中，每個傳輸周期內，需要占用6個時隙即可以成功傳輸9個期望消息，信道可達自由度為3/2；在時分多址情況下，每個傳輸周期需要占用9個時隙才能成功傳輸這9個期望消息，信道可達自由度為1。即采用本文方案，每個周期可以節省3個時隙數。

    下面是針對兩種方案，接收端所能接收的有效消息總數的對比，如圖4所示。當發送9n個消息時，干擾對齊方案需要6n個時隙，時分多址方案需要9n個時隙，比本文所提出的方案多花費3n個時隙數。由此可以看出，對于3×3 X信道，使用增加額外一個時隙的干擾對齊方案時，比傳統的時分多址方案使用的時間減少33.3%。通過比較發現，添加一個額外時隙的干擾對齊方案能大大提高網絡中的消息傳輸效率。

4 歐幾里得空間中的可行性分析

    在本節中，討論所提出的方案在歐幾里得二維或三維空間中的可行性。為簡單起見，假設傳播速度v在所有鏈路中是恒定的，這意味各對收發機之間的傳播延遲量也代表其距離關系。

    S_j和D_i之間的距離可以用d_ij=v(τ_ij+τ₀)表示，其中τ₀是傳播延遲的參考原點。用a表示為D₁和D₂之間的距離，b表示D₁和D₃之間的距離，c表示D₂和D₃之間的距離。在本文模型中，Δτ（傳播延遲）增加表示此對收發機之間相應的距離增加，步長為Δd=vΔτ。用O_i(S_j)表示以D_i為中心的圓/球，其圓周上帶有S_j。

式中，d₀可以根據實際情況設置成不同的值，可以將此可行性條件應用于不同場景，圖5即為該3×3 X信道中，3個發射機和3個接收機在二維歐氏空間上的一種可行性位置排布。

    下面給出一個參考示例。例：假設d₀=1 000，由式(20)可以得知：0≤Δd≤1 000，分別考慮Δd取最小值、中間值和最大值時的可行性范圍。

    通過上述例子可以發現，通過增加一個額外時隙進而實現干擾對齊這一方案在歐氏空間中是可行的，并且可以通過不同的場景設置不同的d₀和Δd來得出節點排布的位置范圍，即a、b、c的取值范圍。

5 結論

    本文研究了3×3 X信道時域上外加一個額外時隙的干擾對齊方案的可行性，基于信道傳播延遲，在信道發送端和接收端使用循環多項式的編解碼方案，在接收端解碼之后，可以成功傳送全部期望消息，信道自由度可以達到3/2。把該方案與時分多址的方法進行對比可以發現，該方案在每個傳輸周期內可以節約1/3的時間。同時分析了此方案在歐幾里得二維和三維空間中的可行性范圍，證明了該方案的可行性。

參考文獻

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[9] 周雯，鄧單.信道均值反饋下多天線干擾信道中的預編碼[J].電子技術應用，2018，44(11)：81-85.

作者信息:

劉  鋒，王淑萍，姜勝明

(上海海事大學 信息工程學院，上海201306)