0 引言

    氣候變化對人類的生產生活、政治經濟、科技等方面影響巨大。地球系統模式（Earth System Models，ESMs）是基于動力、物理、化學、生物過程及其相互間的能量物質交換構建的一系列數學物理模型，是預測未來氣候變化的重要工具^[1]。模式中含有大量取值不確定的參數，會極大影響地球系統模式的模擬性能^[2]。然而隨著模式發展，不確定參數越來越多^[3]，這導致參數不確定性分析難以實施。其原因一方面是參數空間隨著參數數量增加呈指數增長，計算成本不可接受；另一方面是由于地球系統模式強非線性，參數間存在復雜的交互關系。因此，通過篩選重要參數來減少待研究參數個數是參數不確定性分析的重要步驟，是提高地球系統模式模擬性能的關鍵。

    參數敏感性分析方法（Sensitivity Analysis，SA）是一類傳統的參數篩選方法^[4]。其中基于方差分解的Sobol′方法應用普遍，許多研究表示它是一個里程碑，能提供最準確和魯棒的結論^[5-6]。然而傳統SA并沒有考慮隨著不敏感參數的剔除，參數敏感性信息不斷改變^[7]，這有可能導致參數篩選結論不可靠。

    本文首先驗證了這種篩選偏差的存在，其次提出了動態敏感性分析方法(Dynamic Sensitivity Analysis Method，DSAM)。它利用全連接的超圖結構存儲參數的敏感性信息，將參數篩選問題轉換為最密子圖的識別問題。最后將DSAM應用于兩個模型：一般非線性數學函數、單柱大氣模式。通過對比，驗證了DSAM比傳統Sobol′方法能更有效地識別重要參數。

1 傳統敏感性方法的參數篩選問題

    本文利用Ishigami函數進行兩次敏感性分析，結果如圖1所示。第一次擾動全參數集，它的結果是傳統Sobol′的篩選結果。第二次固定不敏感參數x₃不變，只對剩余參數子集進行擾動，使有關x₃的交互敏感性消失，最敏感的參數會變為x₂。這說明參數篩選過程中非敏感參數的剔除會通過交互作用動態影響到其他參數的敏感性。

2 動態敏感性分析方法

2.1 敏感性超圖構建

    敏感性超圖是一個全連接、權重全為正實數且含超邊的圖。超邊代表連接兩個以上節點的邊。節點代表參數，點權代表主敏感性，邊權代表交互敏感性，超邊權代表二階以上的高階交互敏感性。實際高于二階的交互敏感性太小可以忽略^[9]，因此本文只計算二階交互敏感性。

    基于方差分解(如式(2)所示)可計算傳統Sobol′方法的三類敏感性和參數組合的組合敏感性(如式(6)所示)。顯然全參數的組合效應接近1。

2.2 最密k階子圖搜索

    給定子圖中節點數量k，最密k階子圖就是其中權重最大的子圖。本文基于深度優先搜索算法(Depth-First-Search，DFS)遞增式搜索最密子圖，即k從1遞增到n-1過程中，對每個k值進行一次k階最密子圖的搜索。遞增式搜索的停止條件是當前k階最密子圖的權重接近原始圖的總權重，如80%。由于敏感性超圖的總權重為1，因此停止標準可設置為0.8。

3 實驗設計與分析

3.1 實驗模型

3.1.1 數學函數

    Moon10hd是一個含有20個參數的高維非線性函數^[10]，如式(7)所示。它含有線性項、二次指數項和二階交互項，其中θ(x_i)中含有大量的小系數項。本文利用Moon10hd的100 000個樣本進行分析。

3.1.2 單柱大氣模式

    單柱大氣模型（Single-column Community Atmosphere Model，SCAM）用于模擬一個網格點的大氣物理過程^[11]。本實驗限制網格點在澳大利亞北部，模擬時間是從2006年1月18日至2月13日。觀測資料來源于該地區6個無線電探空站每3小時收集到的觀測數據。參數和輸出變量見表1、表2。模式結果如式(8)所示，代表N個輸出變量與觀測的平均偏差。本文利用了SCAM模擬的10 000次樣本。

3.2 參數篩選結果評估方法

    本文利用傳統Sobol′與DSAM的篩選結果進行對比。變量wDiff(Weighted Difference)用于量化評估參數篩選結果的差異。當差異小于0.01 時可視為敏感性指標不變，所以當wDiff低于1% 時，可認為兩個篩選結果近似相同。

    參數篩選要為后續參數不確定性分析（如參數取值優化）提供待研究參數。當固定待優化參數的數量時，對更敏感參數調優更有可能達到更佳的優化效果。協方差矩陣適應演化策略(CMA-ES)是一類經典的優化方法。本文分別將Sobol′和DSAM的篩選結果應用于CMA-ES調優，若優化后模式結果越低，篩選結果越有效。

4 實驗結果

    圖2(a)和圖3(a)顯示了傳統Sobol′方法對Moon10hd函數、SCAM模式的參數敏感性結論，總敏感性最高的參數被篩選出來。圖2(b)和圖3(b)展示了DSAM的動態篩選結果。每列代表一個參數，從左到右按Sobol′的結果遞減地排序，實心表示參數被篩選出來，篩選出的敏感參數個數隨行號遞增。最后一列是傳統Sobol′方法和DSAM篩選結果的量化差異(即式(9))。

    即使兩個篩選結果的組成成員大部分相似，加權差異也可能很大。對于Moon10hd的最敏感的兩個參數(如圖2(b)所示)，Sobol′和DSAM的篩選結果的量化差異高達29%，而對于前3位敏感參數，篩選差異也超過10%。

    Sobol′和DSAM的篩選結論的不一致有助于發現潛在的關鍵過程。文獻[12]認為x₁₂是Moon10hd函數中的關鍵參數，而它甚至沒有出現在前3的敏感參數中。對于SCAM模型，Sobol′剔除掉的不敏感參數x₁₃和x₁₅被DSAM識別為敏感。從物理意義上分析，x₁₃(聚合冰收集率)影響冰的反射率，進而影響關鍵的輻射過程。x₁₅(濕夾卷加強參數)影響底部湍流，而x₁₉(上升穿透夾卷率)代表更高層的濕氣夾卷，較低位置的湍流過程更為重要。

    圖4、圖5分別顯示了對DSAM和Sobol′的篩選結果進行優化后的模型結果，其中每個都分別選擇了大量參數集合和少量參數集合。首先，當優化更多參數時，模式結果的優化程度更好，而調優過程越不容易收斂。其次，相比Sobol′，DSAM的篩選結果能使結果收斂到更優解，即相對于觀測的偏差更小。由圖4可知，DSAM識別到的Top2敏感參數的調優效果比Sobol′的結果提升了38.5%，而所需迭代次數減少了26.6%。同樣，對于Top5重要參數，優化效果提升了12.5%，迭代次數減少了36.1%。

    盡管只有少量參數不同，但參數調優中優化效果差別卻可能很大。在圖5(b)中，14個參數中只有2個發生了替換，即x₄和x₁₉替換為x₁₃和x₁₅，但調優效果提升了65.2%。

    因此，無論從量化比較還是基于參數調優應用的評估，都證明了DSAM比傳統Sobol′更為有效。

5 結論

    本文基于一個經典數值函數說明了參數交互作用對參數篩選過程的影響，提出了一個基于動態敏感性的篩選算法(DSAM)，并在兩個測試案例中，分析對比了DSAM和傳統篩選方法的效果。通過實驗和分析，可得到如下結論：

    (1)參數交互作用在模式參數篩選過程中動態變化，對篩選結果有很重要的影響作用。參數篩選實際是一個組合優化問題。 

    (2)DSAM算法利用圖結構來存儲參數敏感性信息，將參數篩選問題轉換為遞增式搜索最密子圖問題。由于保證了動態性，從理論上DSAM更適合參數篩選應用。

    (3)實驗表示相比傳統方法，DSAM的篩選結果量化差異可高達29%。這表明基于組合最優和單一敏感性指標的結論差異很大。

    (4)針對參數調優應用，即使篩選結果的組成差異很小，帶來的調優效果差異可高達67%。

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資助項目：國家重點研發計劃項目（2016YFA0602103）

作者信息:

黃  欣1，李倩玉2，駱亦其3，薛  巍1，2

（1.清華大學 計算機科學與技術系，北京100084；2.清華大學 地球系統科學系，北京100084；

3.北亞利桑那大學 生態系統科學與社會中心，美國 弗拉格斯塔夫 86011）