0 引言

    隨著電子產業的蓬勃發展，BGA（Ball Grid Array）封裝的芯片在航空航天設備中的應用越來越廣泛，因此其使用過程中焊點的健康一直是人們關注的焦點^[1-4]。由于監測困難、監測周期長、一旦失效甚至有可能引發不可挽回的災難性損失，所以對焊點的健康進行預測就顯的尤為重要。

    概率統計、模糊數學和灰色系統理論是三種最常用的健康預測研究方法，其研究對象都具有某種不確定性。概率統計研究的是“隨機不確定”現象，其出發點是大樣本，并要求對象服從某種典型分布。模糊數學著重研究“認知不確定”問題，主要是憑經驗借助于隸屬函數進行處理。灰色系統理論著重研究概率統計、模糊數學所難以解決的“小樣本”、“貧信息”等不確定性問題，因此適用于BGA焊點的健康預測。

1 灰色系統理論

    20世紀80年代初，華中理工大學鄧聚龍教授提出灰色系統理論^[5-6]，該理論把隨機過程看作灰色過程，認為任何隨機過程都是在一定時間區域和幅值區域變化的灰色量，通過對原始數據的整理找到數據變化規律的過程。雖然采集到的數據沒有表現出明顯的規律性，而且數據樣本較少，但這些數據蘊含著內在規律，利用該理論即可預測出某個時期內的規律，進而用來解決大量實際問題。差分、均值、離散1階1變量灰色模型（GM(1，1)）是灰色系統理論的3種基本模型。

1.1 差分GM(1，1)模型

    假設通過實際測試采集到的原始數據序列為：

    稱：

    式(3)為差分GM(1，1)模型。α為發展系數，代表的是行為序列估計值的發展態勢；b為灰色作用量，是從行為序列中挖掘出來的數據，反映的是數據變化的關系。

1.2 均值GM(1，1)模型

    令：

    式(9)為均值GM(1，1)模型的白化微分方程，也叫影子方程。

1.3 離散GM(1，1)模型

    稱：

    式(12)為離散GM(1，1)模型。

2 焊點健康預測

    焊點連接失效是在外界環境中各種應力的共同作用下，使得焊點逐漸老化、磨損，從而導致其性能下降，焊點的阻抗間歇性升高，隨著應力的持續累積，單位時間內，其焊點阻抗間歇性升高的次數越來越多，直到最后完全失效。其變化過程是漸進性的而非突發性的，具有一定的規律性，因此可以運用灰色系統理論實現對焊點未來健康狀態的預測，為焊點連接失效的健康管理提供依據。

2.1 數據采集

    利用已有監測手段，可以很容易得到兩次焊點阻抗間歇性升高之間的間隔時間，以及每次焊點阻抗間歇性升高的持續時間，分別用Δt₁和Δt₂來表示。因為它們是環境應力累積下焊點連接老化的兩種表現形式，所以Δt₁和Δt₂之間存在相關性，即Δt₁和Δt₂之間可以相互表示。對Δt₁和Δt₂的數據規律進行分析可知，在焊點健康狀態退化的過程中Δt₁從大變小，而Δt₂則由小變大。對焊點健康狀態的預測主要是在焊點連接退化的早期進行的，這時如果選擇Δt₂，由于時間測量的不準確會導致預測精度的降低，故在用灰色模型對焊點連接失效進行預測時使用的數據源為Δt₁。

    文中采用的原始數據是故障診斷^[7]得到的實測數據Δt₁(t/min)，分別為：113.4、86.2、83.9、90.5、60.7、65.1、58.8、67.3、25.4、51.4、68、27.8、44.55、17.87、29.2、42.75、26.49、11.37、30.54、20.72、8.1、20.59。取前6次的數據用來建模及預測，其他實測數據用來與預測值進行對比分析。

2.2 模型建立

    由實測數據可得：

    X⁽⁰⁾={113.4，86.2，83.9，90.5，60.7，65.1}

    X⁽¹⁾={113.4，199.6，283.5，374.0，434.7，499.8}

    建立的3種模型如下：

    （1）差分模型

    x⁽⁰⁾(k)+0.113x⁽¹⁾(k)=119.144

    （2）均值模型

    （3）離散模型

    x⁽¹⁾(k+1)=0.919x⁽¹⁾(k)+99.995

2.3 軟件仿真

    利用MATLAB軟件和上面建立的模型，即可預測出兩次焊點阻抗間隙性升高的累積時間，與實測值對比如下。

    （1）利用差分模型得到的預測值與實測值的對比情況如圖1所示。

    （2）利用均值模型得到的預測值與實測值的對比情況如圖2所示。

    （3）利用離散模型得到的預測值與實測值的對比情況如圖3所示。

2.4 結果分析

    從仿真結果可以看出，利用灰色系統理論，針對BGA焊點，分別建立的差分、均值、離散GM(1，1)模型，都可以實現對其健康的預測，預測值與實測值基本吻合。通過對比3個圖也可以看出，差分模型的預測值略大于實測值，離散模型的預測值略小于實測值，而均值模型的預測值與實測值吻合得較好。

3 結論

    （1）把灰色系統理論引入BGA焊點的健康預測，克服了概率統計、模糊數學難以解決的“小樣本”、“貧信息”等困難。

    （2）利用灰色系統理論，分別建立了差分、均值、離散三種BGA焊點失效模型。

    （3）對比仿真結果，發現均值GM(1,1) 模型的預測值與實測值吻合得更好。

參考文獻

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