0 引言

    越來越多的研究人員致力于網絡流量特征的研究，現有的網絡流量中都能檢測到自相似特性。赫斯特指數(Hurst index，H指數)是描述自相似特性的唯一特征參數，它能刻畫網絡業務量突發的劇烈程度，影響網絡業務量建模的準確度。

    赫斯特指數估計方法的研究開始于國外，起初學者大多數集中在對R/S法(Rescaled Range，R/S)的研究上，后來提出了一些新的H指數估計方法和應用。MARCIN M提出了基于p-variation的估計方法^[1]，這種方法可以估計單分形布朗運動的H指數。BLYTHE D A J^[2]將H指數的估計方法運用到腦電圖的分析當中，演示了信號噪聲比例在H指數估計中的影響。國內的學者也對H指數的估計方法進行了大量的研究和應用。張廣興^[3]將H指數估計方法運用于多尺度下的IP網絡流量特征分析與研究。徐凌^[4]提出了一種基于Haar小波的Hurst參數估計方法，比傳統估計方法的精度有所提高。目前比較常用的自相似業務量估計方法有R/S分析法、聚類方差法、周期圖法、Whittle法^[5]、小波分析法。其中Whittle法需要在已知序列的譜密度形式的情況下才能對序列進行準確估計，而真實網絡業務量的譜密度形式往往是未知的，所以本文只對其他4種方法進行研究。

1 自相似過程及其數學特性

1.1 自相似過程的定義

1.2 自相似過程的特征

    赫斯特效應：Hurst參數是自相似過程的唯一參數，當H=0.5表明時間序列是隨機的，0.5<H<1表明時間序列具有自相似性，網絡業務量的H值一般在0.75附近。

1.3 分形高斯噪聲模型

    分形高斯噪聲^[9](Fractal Gaussian Noise，FGN)是目前最為廣泛使用的一種自相似模型。FGN序列的自相關函數為：

2 Hurst指數估計法及修正辦法

2.1 R/S估計法

2.1.1 原理

    對于具有自相似性的序列X有：

2.1.2 R/S修正辦法

    在實際應用中m值的設定關系到算法的運算時間和算法的精度。圖1是m值的個數與估計方法運算一次所需要的時間關系，自相似業務量長度為2¹⁶。

    從圖1可以看出，m的個數的增加帶來了運算時間大幅增加，因此m值的個數應該固定，即m的個數不隨自相似業務量序列的長度的增加而增加。同時仿真結果表明R/S法的估計精度不受m的取值個數影響，實驗數據見表1。可以通過適當減少m值的個數提高運算速度。本文的仿真都是在自相似業務量序列長度為2¹⁶，Hurst參數取0.6、0.7、0.8、0.9這4個值的情況下仿真出來的結果。相對誤差是分別對設定的4個Hurst參數估計后求得的值求平均的結果。

    表2是m的最小值與算法的相對誤差關系，表2的仿真數據可以看出隨著m的最小取值的增加估計法的相對誤差降低了2.42%，說明可以通過提高m的最小值的取值來提高R/S法的估計精度，N是自相似業務量序列長度。

    表3是m的最大值與估計法的相對誤差之間的關系，最小值取lgN³，從表3可以看出m值的最大取值偏大時R/S法的估計相對誤差較小。

    綜上所述，對于R/S法的修正辦法有：(1)m值的個數固定，避免因自相似業務量序列的增加帶來的運算量的大幅增加；(2)增大m值的最小取值可以使R/S估計法的相對誤差減少2.32%；(3)增大m的最大取值，這種方式也可以提高估計法的精度。

2.2 聚類方差法

2.2.1 原理

    繪制對數坐標系下Vn與m的曲線，H=1+a/n，a為斜率，從而可以計算Hurst參數的值。當n=1時對應算法為絕對值法，當n=2時對應算法為方差時間法。

2.2.2 聚類方差修正辦法

    同R/S法一樣，聚類方差法中m值的選取也可以直接影響估計精度和運算速度。圖2是m值的個數與估計方法運算一次所需要的時間之間的關系。

    從圖2可以看出隨著m的個數的增加，運算一次估計法所需的時間也大幅增加，所以m值的個數應該固定。表4中等間隔取值就是m在最大值和最小值之間等間隔地取值，不等間隔的取值就是在最小值與最大值之間呈對數取值。表4的仿真結果表明m以不等間距的方式來取值比等間距取值的精度高。從表4也可以看出當m的個數在40左右時精度較高。

    表5是在m的最小值取不同值時得到的估計誤差，N表示自相似業務量序列的長度。從表5可以看出隨著m的最小值的增大，估計法的精度逐漸下降。

    表6是在m的最小值取10的情況下討論最大值對精度的影響，從表6可以看出m值的最大取值偏小時聚類方差法的估計精度高，即m的最大值的選擇應該適當偏小，當取N/500時精度最高。

    綜上所述，對于聚類方差法的修正辦法有：(1)m取值的個數固定，避免序列的增加帶來運算量的大幅增加；(2)m值不等間隔選取，可以使相對誤差降低3個百分比；(3)降低m值的最小取值和最大取值，可以使相對誤差降低8個百分比。

2.3 周期圖法

2.3.1 原理

    周期圖法^[10]是一種信號功率譜密度估計方法。對于觀測到的時間序列X={X(k)，k=1，2，3，…，N}，其周期圖由下式定義為：

2.3.2 周期圖法修正辦法

    選擇原點附近的點來擬合曲線對周期圖法是很重要的，選擇過多的點I(λ)與|λ|^1-2H失去了正比關系，選擇的點過少會影響精度。從表7中可以看出，選擇靠近原點15%左右的點進行擬合得到的估計精度是最高的。

    因此可以總結出對周期圖法的修正辦法：適當選擇靠近原點15%的點進行曲線擬合，這種情況下周期圖法的估計誤差最小，精度最高。

2.4 小波法

2.4.1 原理

    給定一時間序列X={X(i)，i=1，2，3，…，N}，對其進行二進制小波變換可以得到信號的近似系數d_x(j，k)^[11]。

    若X(i)為二階平穩過程，則：

其中 C(H，Ψ)是依賴H和Ψ的常數，j是尺度系數。從式(12)可以得出在對數坐標系下擬合一曲線，H=(1+a)/2，a是曲線的斜率。

2.4.2 小波法修正辦法

    影響小波估計法精度的因素有兩點：(1)小波基的選擇；(2)尺度的選擇。表8對比了4種小波基在H指數估計當中對精度的影響。Harr小波就是Daubechies小波中階數為1的情況。

    從表8中可以看出，小波基和尺度j的選擇會影響小波估計法的精度，采用Harr小波基進行小波估計在尺度j=5時小波估計的相對誤差最低為0.25%。

    因此，可以總結出兩點小波估計法的修正辦法：(1)選擇Harr和Biorthogonal小波基；(2)選合適的尺度，j=5左右情況下估計法的相對誤差最小。

3 結論

    本文針對目前廣泛使用的4種自相似業務量估計方法提出了詳細的修正的辦法。通過設置不同的Hurst參數以及長度為2¹⁶的業務量序列來測試修正前后估計方法的精度，結果表明采用修正辦法可以降低各個估計方法的相對誤差，提高估計方法的估計精度，其中R/S法的相對誤差降低到1.43%，聚類方差法的相對誤差降低到1.30%，周期圖法和小波估計法的相對誤差降低了一個數量級，小波估計法的相對誤差降低到了0.25%。

    下一步的工作：(1)研究這些方法的抗噪性能，改進估計方法，提高魯棒性；(2)將估計方法采用硬件實現，用于對網絡流量的實時檢測。

參考文獻

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