0 引言

    隨著人們對于高速率、高質量無線通信需求的飛速增長，盡可能高的頻譜效率和能量效率成為新一代無線通信系統的核心競爭指標。2008年首次提出并不斷發展成熟的非正弦時域正交調制方法^[1]（Nonsinusoidal Orthogonal Modulation in Time and Domain，NOTDM），利用橢圓球面波函數的高時頻能量聚集性來提高系統的功率利用率，采用時域正交、頻域混疊的正交脈沖組實現多路信息傳輸，進而提高了系統的頻譜效率，是極具應用前景的非正弦波通信新體制。

    橢圓球面波函數（Prolate Spheroid Wave Function，PSWF）已經被證明是時頻域能量聚集性最佳的信號形式^[2-4]，但其高能量聚集性是以系統頻帶利用率的降低為代價的，時間帶寬積c越大，λ越大，PSWF能量聚集性越好，系統頻帶利用率越低^[5-8]，如何優化設計正交橢圓球面波函數脈沖組參數是決定系統性能的重要因素。文獻[9]給出了基于PSWF的正交脈沖設計的詳細方法，但是只給出了頻譜交疊度為50%的情況。文獻[10]討論了不同頻譜交疊度時系統頻帶利用率提升的速度，但是缺少對不同頻譜交疊度情況下調制信號能量聚集性和頻譜特性的討論。另外，時間帶寬積是影響脈沖組性能的另一個典型參數，但是尚未發現國內外文獻對不同時間帶寬積條件下系統性能變化進行詳細的討論和分析。

    本文在非正弦時域正交調制方法的基礎上，著眼于如何確定合適的PSWF脈沖組參數，重點分析了頻譜交疊度和時間帶寬積等典型脈沖參數對時域正交PSWF脈沖組的正交性、時頻能量聚集性，以及用于信息傳輸時，已調信號的功率譜特征、系統的頻帶利用率等方面的影響，進而以脈沖組的功率利用率和頻帶利用率為主要指標，提出了時域正交PSWF脈沖組的參數優選方案。仿真結果表明，綜合各項性能指標所設計的時域正交PSWF脈沖組參數優選方案，在保證調制信號具有高能量聚集度的同時，系統保持較高的頻帶利用率和較低的實現復雜度。

1 頻譜交疊度對正交PSWF脈沖組的影響分析

    非正弦時域正交調制方法利用一組時域正交、頻譜交疊且時頻能量聚集性較優的PSWF脈沖并行調制后疊加成一路信號進行傳輸，可以少量脈沖實現系統頻帶利用率的快速提高。接收端依靠脈沖間的良好正交性，通過相關解調和檢測完成多脈沖的分離和調制信息的獲取。

    當多路PSWF信號并行傳輸時，由于PSWF滿足雙正交性^[11]，可以在不引入脈沖間干擾的前提下，允許各路PSWF信號在時域上相互疊加，在頻域上頻譜相互交疊。為探究頻譜交疊度對正交PSWF脈沖組的影響，在頻譜交疊度分別為45%、50%、55%、60%條件下，定性分析了時域正交PSWF脈沖組的性能指標，并比較了用于信息傳輸時通信系統的性能指標。

1.1 頻譜交疊度對脈沖組時域特性的影響分析

    選取頻帶范圍劃分的子頻段個數k=4，每個子頻帶帶寬B₀=100 Hz，時間帶寬積為c=4π，脈沖的持續時間為T_s=40 ms。具體參數設置如表1所示。

    根據時域正交PSWF脈沖組設計的一般方法可知，PSWF的時間帶寬積c與脈沖個數m滿足關系式：m=因此在同一子頻段內，所取PSWF脈沖的個數為m=4，脈沖組的正交脈沖個數為N=m×k=16。

    這里以正交PSWF脈沖組的最大互相關值作為檢驗脈沖組正交性能的標準，按照表1的參數設計在不同頻譜交疊度下脈沖組的正交性能如表2所示。

    從表2中可以看出，頻譜交疊度的大小基本不影響脈沖組的最大互相關值，即不影響脈沖組的正交性能。可見，依據表1的參數設置得到的正交PSWF脈沖組都具有較好的正交性能。

1.2 頻譜交疊度對脈沖組頻域特性的影響分析

    下面利用表1的參數設置設計的正交PSWF脈沖組傳輸信息時，對已調信號的功率譜特性進行分析。已調信號的歸一化功率譜如圖1所示。

    已調信號的歸一化功率譜特性如表3所示。

    從圖1及表3中可以看出，當頻譜交疊度ρ較小時，調制信號的帶內能量聚集性較大，功率譜旁瓣功率和截止帶外衰減都較高；隨著頻譜交疊度的增大，調制信號的帶內能量聚集性逐漸降低，功率譜旁瓣功率和截止帶外衰減也在頻譜交疊度較大時大幅降低，在交疊度為ρ=70%的情況下，帶內能量聚集性下降到92%，功率譜旁瓣衰減降到-12.5 dB，而截止帶外衰減甚至降到-3.5 dB，極大地降低了系統的功率利用率。可見，隨著頻譜交疊度ρ的增大，調制信號的帶內能量聚集性逐漸變差，其功率譜特性也急劇變差。

1.3 頻譜交疊度對系統特性的影響

    下面對不同頻譜交疊度時的頻段劃分方式下所設計的時域正交PSWF脈沖組采用非正弦時域正交調制，用于信息傳輸時，對通信系統無碼間干擾條件下的單位頻帶利用率進行理論分析。

    在子頻段時間帶寬積為c時，同一子頻段選用的PSWF脈沖個數m==T_sB₀，子頻段劃分個數為k、子頻段帶寬為B₀時，則采用非正弦時域正交調制，利用時域正交PSWF脈沖組實現信息的多路并行傳輸時，信息傳輸的總速率為：

    按照表1的參數設置得到的正交PSWF脈沖組用于信息傳輸時，系統的單位頻帶利用率和峰均功率比如表4所示。

    從表4中可以看出，當頻譜交疊度較小時，系統的頻帶利用率較低，隨著頻譜交疊度的增大，系統的單位頻帶利用率不斷增大。在頻譜交疊度不小于50%時，系統的頻帶利用率可已達到2 Baud/Hz。另外，隨著頻譜交疊度的增大，系統的峰均功率比不斷減小。

    綜合考慮各性能指標，頻譜交疊度50%時，所設計的時域正交PSWF脈沖組在保證已調信號具有較好的能量聚集性(即具有較好的功率利用率)的前提下，正交PSWF脈沖信號具有較小的邊值幅度，隨著子頻段劃分數的增加，系統的單位頻帶利用率可達2 B/Hz，同時不會給系統帶來較高的復雜度。

2 時間帶寬積對正交PSWF脈沖組的影響分析

    由上一節的分析可知，在頻譜交疊度為50%或55%的情況下，正交PSWF脈沖組的性能較好，因此，下面在頻譜交疊度為50%時，針對時間帶寬積c分別為3π、4π、5π、6π的情況，通過仿真分析所設計時域正交PSWF脈沖組的性能指標，并根據低復雜度、高頻帶利用率和高功率利用率的系統特點，確定正交脈沖組的優化設計方法。

2.1 時間帶寬積對脈沖組頻域特性的影響分析

    為了便于分析比較，下面給出仿真實例。在通信頻段1 000 Hz~1 250 Hz、帶寬250 Hz內設計時域正交PSWF脈沖組，劃分的子頻段個數k=4，每個子頻帶帶寬B₀=100 Hz，頻譜交疊度為ρ=50%，其他具體參數設置如表5所示。

    在子頻段時間帶寬積不同時的已調信號的功率譜如圖2所示。

    子頻段時間帶寬積不同時的功率譜特性如表6所示。

    如表6所示，當時間帶寬積c=2π時，僅有92.20%的能量集中在頻段1 000 Hz~1 250 Hz內；當時間帶寬積c=3π時，僅有99.04%的能量集中在頻段1 000 Hz~1 250 Hz內；而當時間帶寬積c分別為4π、5π、6π時，分別有99.74%、99.85%、99.95%的能量集中在給定的頻段范圍內。可見隨時間帶寬積的增大，調制信號的帶內能量聚集性不斷提高，系統的功率利用率也不斷提高。

    從圖2及表6中可以發現，在時間帶寬積c較小時，調制信號功率譜旁瓣功率較低，且其截止帶外衰減也較低，僅為-2.5 dB，極大地影響了系統的功率利用率。隨著時間帶寬積c的增大，功率譜旁瓣功率及其截止帶外衰減功率逐漸提高，系統的功率利用率也不斷提高。

2.2 時間帶寬積對系統性能的影響分析

    下面采用非正弦時域正交調制，對不同時間帶寬積條件下所設計的時域正交PSWF脈沖組用于信息傳輸時，對通信系統無碼間干擾條件下的單位頻帶利用率進行分析。

    交疊度50%時，系統的單位頻帶利用率為：

其中，k為子頻段數，m為每個子頻段的脈沖個數，T_s為脈沖持續時間，f_b為單個脈沖的信息傳輸速率。在頻譜范圍和劃分子頻帶個數相同的情況下，子頻段的時間帶寬積c越小，每個子頻段選取的脈沖數m越少，系統的復雜度越小。

    依據表5的參數設置得到的正交PSWF脈沖組用于信息傳輸時，系統的單位頻帶利用率和峰均功率比如表7所示。

    從表7中可以看出，當時間帶寬積c較小時，系統的峰均功率比很小，而且正交脈沖的數量較少，因此用于時域正交調制時，系統的復雜度較小，但隨著時間帶寬積的增大，每個子頻帶選取的正交脈沖個數增多，導致系統的峰均功率比急劇增大，并大大增加了時域正交調制系統的復雜度。

    從各項性能指標綜合考慮來看，當時間帶寬積為c=4π時，所設計的時域正交PSWF脈沖組在保證已調信號具有較好的能量聚集性(即具有較好的功率利用率)的前提下，脈沖信號具有較小的邊值幅度，同時不會給系統帶來較高的復雜度。

3 基于參數優選的功率譜特性優化研究

    由分析可知，隨著子頻段時間帶寬積c的增大，脈沖調制信號的旁瓣衰減功率逐漸降低，其功率譜特性逐漸變好。同時，正交化后單階脈沖的頻譜范圍有所擴大，且隨著脈沖數的增加，脈沖旁瓣高度逐漸增大。因此，可以通過增大總時間帶寬積c，同時減少參與正交化的脈沖個數N的方式來優化調制信號的功率譜特性。

    設計帶寬B=250 Hz，頻譜范圍為1 000~1 250 Hz，碼元時間寬度T_s=40 ms，總時間帶寬積為c=πBT=10π，子頻帶劃分數k=4，頻譜交疊度ρ=50%。

    為了方便比較不同脈沖個數時的調制信號功率譜特性，每個子頻帶上的脈沖個數分別選取m=2、3、4，這樣參與正交的脈沖個數分別為N=8、12、16，因此可以得到的脈沖組參數設置如表8所示。

    按照表8中的參數設置，在總時間帶寬積c=10π的情況下，N=8、12、16時的調制信號的功率譜在給定頻段內分布較均勻，其旁瓣功率分別為-33.5 dB、-27.5 dB和-25 dB，其截止帶外衰減功率分別為-30 dB、-24 dB、-22 dB。仿真結果顯示，在此參數設置下，分別有99.95%、99.81%和99.74%的能量集中在給定的頻段范圍內?？梢婋S著脈沖個數的減少，功率譜旁瓣和截止帶外衰減逐漸減小，調制信號的能量聚集性有所提高。

    另外，經過計算發現，在N=16時系統的單位頻帶利用率為η=1.6 Baud/Hz，N=12時為η=1.2 Baud/Hz，N=8時為η=0.8 Baud/Hz?？梢婋m然上述仿真通過減少正交脈沖個數可以改善調制信號的功率譜，但這是以降低系統的頻帶利用率為代價的，是在功率譜特性和系統性能之間折衷權衡的一種參數設置方法。

    依然按照上節的基本參數設置：設計帶寬B=250 Hz，頻譜范圍為1 000~1 250 Hz，子頻帶劃分數k=4，頻譜交疊度ρ=50%。

    為了方便比較不同脈沖個數時的調制信號功率譜特性，碼元持續時間分別取T_s=40 ms、44 ms、48 ms，這樣總時間帶寬積為c=πBT=10π、11π、12π。在正交脈沖個數N=16的情況下，總時間帶寬積分別為c=10π、11π、12π時，調制信號的功率譜旁瓣為-25 dB、-33 dB和-37.5 dB，其截止帶外衰減分別為-22 dB、-26 dB、-29 dB，且此時調制信號的帶內能量聚集性分別為0.997 4、0999 95和0.999 9，可見隨著時間帶寬積的增大，調制信號的截止帶外衰減功率逐漸降低，帶內能量聚集性增高，系統的功率利用率明顯提高。

    但在此情況下，c=10π時的系統單位頻帶利用率為η=1.6 Baud/Hz，c=11π時為η=1.45 Baud/Hz，c=12π時為η=1.33 Baud/Hz，可見雖然增大時間帶寬積可以降低調制信號的截止帶外衰減，改善其功率譜特性，提高系統的功率利用率，但這種方法也是以犧牲系統的單位頻帶利用率為代價，是在脈沖組功率譜特性和系統特性實現折衷的參數設置方法。

    綜上所述，通過脈沖組的參數優選，增大時間帶寬積c和減少正交脈沖個數N，都可以優化調制信號功率譜特性，但同時降低了單位頻帶利用率，是以犧牲系統特性為代價的折衷措施。

4 結論

    本文以頻譜交疊度和時間帶寬積為典型參量，分析脈沖參數對信號正交性和用于信息傳輸時對已調信號的帶內能量聚集性和功率譜旁瓣的影響，以及對系統的頻帶利用率、峰均功率比和復雜度的影響。綜合考慮系統實現復雜度、頻帶利用率和功率利用率，給出了ρ=50%和c=4以及ρ=55%和c=4π這兩種時域正交PSWF脈沖組的參數優選措施。仿真結果表明，綜合各項性能指標所設計的時域正交PSWF脈沖組參數優選方案在調制信號能量聚集度達到99.7%的同時，系統極限頻帶利用率達到2 Baud/Hz，且保持了較小的實現復雜度。該優選方案取得了功率利用率和頻帶利用率的良好折衷，在固體系統中可以根據實際需求對參數進行調整，以達到系統性能最優化。

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