摘  要： 提出了均勻三次B-spline曲線反算的快速算法。在Matlab中編程實現，大大降低了程序的復雜性，提高了運算效率，并使重構所得曲線的兩個端點處曲率不為零，滿足了一階連續，并給出了應用實例。
關鍵詞： 逆向工程；B-spline；反算算法；Matlab

　在計算機輔助幾何設計(CAGD)實踐中，常遇到設計者事先并不知道控制多邊形頂點的位置，而只知道曲線上的某些型值點的情況。從設計角度上來說，通常考慮的是曲線的大致形狀，而非控制多邊形的大致形狀。為了構造B-spline曲線，就需要由已知的型值點反算出控制多邊形的頂點。在實際工程應用中，B-spline 曲線的反算過程所涉及到的計算量很大，因此討論B-spline 曲線的快速反算算法有著很重要的意義[1]。
　對于三次均勻B-spline曲線的反算，朱心雄[2]給出了一種計算速度快且易于編程的反算控制頂點的迭代方法，可以得到在允許誤差范圍內的C2連續曲線。而參考文獻[3]通過A-1的研究對三對角矩陣提出了一種優于追趕法和LU分解法的求解方法。但是它們都是以兩端曲率為零作為邊界條件，可能出現人們所不希望看到的曲線在端點處不連續的現象。針對B-spline 曲線的反算過程計算量大，重構曲線端點處曲率不連續的問題，本文提出了一個有效的解決辦法，并在Matlab[4]中予以編程實現，大大降低了程序的復雜性，提高了運算效率，并使重構所得曲線的兩個端點處曲率不為零，至少滿足了一階連續。

　式中總共有m+1個線性方程組，但有n+1個控制頂點未知量。因此，要想得到唯一解，需要另外補充兩個方程，這兩個方程一般由邊界條件給定。邊界的補充條件有多種形式，如給定兩端點的切向量、自由端點條件、虛節點條件和拋物線條件等，實際應用中根據具體情況選取適合的邊界補充條件。有了補充方程，即可用迭代法或追趕法等求解所建立的線性方程組。
2 快速反算算法
　將定義在每一個節點區間上用整體參數u表示的B-spline基變換成用局部參數t∈[0，1]表示，則三次均勻B-spline曲線段的矩陣表示為：

參考文獻
[1] 劉德平．逆向工程關鍵技術及其應用研究[D]．西安：西安電子科技大學，2008．
[2] 朱心雄．自由曲線曲面造型技術[M]．北京：科學出版社，1999．
[3] 吳光亞，王小華．反求三次B樣條曲線控制頂點的一種快速算法[J]．杭州電子科技大學學報，2005，25(3)：64-66．
[4] 王學輝，張明輝．Matlab 6.1最新應用詳解[M]．北京：中國水利水電出版社，2002．